2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 3회 - [문제 1]
2027학년도 실전 모의고사 3회 [2024학년도 기출유형]
[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
1-1 오른쪽 그림은 크기가 같은 정육면체 \(25\)개를 가로로 \(5\)개, 세로로 \(5\)개씩 쌓아 만든 직육면체이다. 정육면체의 모서리를 따라 꼭짓점 \(P\)에서 꼭짓점 \(Q\)까지 최단거리로 이동할 때, 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 이동하는 경우의 수를 구하시오. (30점)
1-2 주머니 \(A\)에는 숫자 \(4\)가 적힌 공이 세 개, 숫자 \(6\)이 적힌 공이 두 개, 숫자 \(8\)이 적힌 공이 한 개 들어 있고, 주머니 \(B\)에는 숫자 \(0\)이 적힌 공이 여섯 개, 숫자 \(1\)이 적힌 공이 네 개 들어 있다. 주머니 \(A\)에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(a\), 주머니 \(B\)에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때 공에 적힌 수를 \(b\)라 하자. 곡선 \(y=(x+7)\left(x^2 - abx + \frac{a-6}{2}\right)\)이 \(x\)축과 만나는 세 점 중에서 가장 가까운 두 점 사이의 거리를 확률변수 \(X\)라 할 때, \(X\)의 기댓값 \(E(X)\)를 구하시오. (40점)
1-3 \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}\)에 대하여 두 함수 \(g(x)\)와 \(h(x)\)를
\[ g(x) = \int_{\pi/6}^x f(t)dt, \quad h(x) = \int_{\pi/6}^x g(t)dt \quad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right) \]
라 하자. 극한값
\[ \lim_{x \to 0+} \frac{h(x) + \{g(x)\}^2}{f(x)} \]
을 구하시오. (단, \(\lim_{t \to 0+} t^2 \ln t = 0\)이다.) (30점)
<가> 오른쪽 그림과 같이 길이가 \(2\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원의 호 위에 \(\overline{QB} < \overline{PB}\)이고 \(\overline{PQ} = 1\)인 두 점 \(P, Q\)가 있다. 이 반원 안에 선분 \(PQ\)를 지름으로 하고 선분 \(AB\)와 점 \(H\)에서 접하는 반원이 있다.
<나> 오른쪽 그림과 같이 평면 \(\alpha\)와 평면 \(\beta\)는 직선 \(l\)에서 만난다. 평면 \(\alpha\) 위에 중심이 \(O\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하는 반구와 평면 \(\beta\)가 만나서 생기는 도형은 반지름의 길이가 \(\frac{1}{2}\)인 원 \(C\)이다. 원 \(C\)를 밑면으로 하는 반구는 평면 \(\alpha\)와 한 점 \(H\)에서만 만난다.